Relação Inversa, Propriedade das Relações, Fecho de Uma Relação e Semelhança das Propriedades das Relações com a Informática

IFPA e PARFOR
Curso: Licenciatura Plena em Informática
Competência Curricular:  Matemática para Computação
Assunto: Relação Inversa
Professor:  Robson Alves
Alunos: Genésio Macambira
Jânio Figueiredo
Maria Zenilce Silva
Neucilene Costa

Equipe 03

Relação Inversa

Propriedade das Relações

 Fecho de Uma Relação

e

Semelhança das Propriedades das Relações com a Informática

A relação entre dois conjuntos é representada pela letra R e dá-se com a associação entre os elementos ou variáveis de um conjunto A e conjunto B.

Explicitando Conjuntos

        Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos construir a relação R em A×B que está apresentada no gráfico.

 

Qual resposta mostra a relação R de forma explicita?

a.R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)}

b.R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}

                                                                                                             c. R={(a,1),(b,3),(c,2)}

d. R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}

A relação inversa é quando invertemos as coordenadas de todos os pares ordenados de uma relação R.

        Com a mesma relação R do exercício anterior, qual das alternativas é a relação inversa R^-1?

R^-1={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}

R^-1={(1,a),(4,a),(3,b),(2,c)}

R^-1={(4,a),(2,c),(3,b)}

R^-1={(1,a),(2,c)} 

Estabelecendo a relação R entre a Matemática e a Informática

 

             No exemplo acima, temos o estabilizador cuja função é ligar e desligar os equipamentos conectados a ele. Na primeira ilustração, o botão está em 1, o que corresponde ao binário ligado, já na segunda ilustração, o botão está em 0, o que corresponde ao binário desligado. A relação entre as duas ilustrações dá-se de forma inversa.

Propriedades das relações

R é dita reflexiva se aRa para todo a ∈ A, isto é, se (a,a) ∈ R para todo a ∈ A. Ou seja, se todos os elementos se relacionam com si próprios.

Considere a serviço de exemplo as seguintes relações em um conjunto A = { 1, 2, 3, 4}

R₁ = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)};

R₂ = A×A, a relação universal.

Dos exemplos citados, como A contém os quatro elementos, 1, 2, 3 e 4, uma relação R em A é reflexiva se contém os quatro pares (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)

Uma relação é irreflexiva ou Anti-reflexiva se nenhum elemento se relaciona com si próprio.

Ex: R₃ = {(1,4), (2,1), (3,2), (4,3)};

           

Estabelecendo a relação R entre a Matemática e a Informática

           Na ilustração acima, temos o cabo de redes no qual as conexões em cores estabelecem otimização no envio e recebimento de bits na net. Cada cor corresponde a cor a ser conectada a entrada do equipamento, logo se trata do tipo de relação de propriedade reflexiva em que aRa, bRb, cRc, dRd, eRe, fRf, gRg e hRh.

 Uma relação R em um conjunto A é dita simétrica se (a,a) ∈ R toda vez que (a,a) ∈ R.

Ex  R₄ = {(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1)};

Uma relação anti-simétrica é tal que se aRb e bRa então a=b. Assimétrica é uma relação em que aRb implica que não bRa. Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }

Estabelecendo a relação R entre a Matemática e a Informática

          Na fotografia, a captura do evento dá-se de forma invertida, isto é simétrica, e somente com o processo da revelação a imagem é corrigida em posição normal. Igualmente em nosso cérebro, quando captamos os eventos diários. Nossos olhos captam a imagem que é refletida de forma simétrica no fundo dos olhos. O registro é enviado ao cérebro via sinapses e o mesmo corrige a posição da imagem. No processo digital, a quantidade de pixels é condensada e corrigida para determinar contrastes, nitidez e matiz. 

A transitividade de uma relação binária vale quando aRb e bRc implicam que aRc. Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

Estabelecendo a relação R entre a Matemática e a Informática

            Na ilustração, temos o mapeamento de rotas como exemplo de propriedade transitiva. As rotas estabelecem conexões entre si formando uma ponte que envia e recebe bits.

Relação de equivalência

Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Ex: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é de equivalência:

R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }

Estabelecendo a relação R entre a Matemática e a Informática

            Na ilustração, temos a junção de todas as ações acontecendo simultaneamente, logo há semelhança com a propriedade de equivalência, na qual os elementos do conjunto relacionam-se de forma reflexiva, simétrica e transitiva ao mesmo tempo.

Fecho de Uma Relação

Ps: A Equipe agradece a Todos os discentes do PARFOR e, em especial, ao Prof. Robson Alves pela comutação entre a Matemática e a Informática.

       "Parabéns a Todos e ao Prof. Robson Alves por nos sentenciar a descoberta facilitadora na compreensão das Relações, Tipos e Fechos entre as Competências em voga!!!"