Álgebra de Conjuntos

Instituto Federal do Pará
Plano Nacional de Formação de Professores da Educação Básica
Curso de Licenciatura Plena em Informática
Disciplina: Matemática e Informática
Prof. Francisco Robson
Equipe: Danilo Guimarães, Ilcilene Silva e Milena Araújo
Álgebra de Conjuntos
Consideremos (informalmente) que uma álgebra de Conjuntos é constituída de operações definidas sobre conjuntos.
Relações e Operações entre conjuntos não são a mesma coisa. Enquanto que as relações são essencialmente formas de comparar conjuntos, as operações são formas de se criar novos conjuntos a partir de conjuntos já existentes.
Uma operação é um processo escolhido a partir do qual, dados dois elementos quaisquer se pode obter um terceiro elemento da mesma natureza.
Usualmente, operações como adição e multiplicação de números inteiros são representados pelos sinais + ou x
Ex: 3+4 = 7 (3, 4, 7: elementos de mesma natureza)
      3x4 = 12 (3, 4, 12: elementos de mesma natureza)
Genericamente indicamos (a θ b) → c, sendo a, b e c de mesma natureza e θ uma operação.
1.  Reunião
•    Indicada pelo símbolo U, e definida por A U B = { x I x ∈ A ou x ∈ B}
•    Corresponde à noção de Disjunção da Lógica Proposicional.
•    O conectivo “ou” simbolizado por V, é usado para indicar que um elemento pertence a AUB quando pertence somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B ou a ambos os conjuntos.
Ex: A= {a, b, c, d }, B = { c, d, e, f } → A U B = { a, b, c, d, e, f }
 
1.1 Propriedades da reunião
•    Idempotente: A U A = A
•    Elemento Neutro: A ∪ ∅ = A
•    Comutativa: A ∪B = B∪A
•    Associativa: (A ∪B)∪C = A ∪(B ∪C)
2. Interseção
•    Dados dois conjuntos quaisquer A e B, a operação de interseção ou intersecção gera o conjunto com todos os elementos que são comuns ao conjunto A e ao conjunto B;
•    Corresponde à noção de Conjunção da Lógica Proposicional. Onde o conectivo  “e”, indicado por ^, é usado para indicar que x ∈ (A ∩ B ), se, e somente se, x pertencer aos dois conjuntos ao mesmo tempo.
•    A∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Ex: A = { 5, 6, 9, 8 } e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } → A ∩ B = { 5 }
 
2.1 Propriedades da Interseção
•    Idempotente: A ∩A = A
•    Elemento Neutro: A ∩ U = A
•    Comutativa: A ∩ B = B∩A
•    Associativa: (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩C)
3. Diferença
•    Dados dois conjuntos quaisquer A e B, a operação de diferença gera o conjunto com todos os elementos que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B.
•    Definida por A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Ex : : A= { 1, 2, 3, 4, 5 } , B = { 3, 4, 5, 6, 7} → A – B = { 1, 2}

4. Complementar
•    Se B é um subconjunto de A, pode-se escrever A – B = CB, A  que se lê Complementar de B em relação a A, ou também, sendo U = conjunto universo representamos por Ā (~A ou A’) o complementar de A em relação a U.
•    Esta operação é definida por Ā = {x ∈ A | x ∉ B}
Ex: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} , B = {3, 4, 5, 6} → A – B = { 1, 2}
 
5. Relações entre Lógica e Teoria dos Conjuntos